Matematik 5

Alla formler från Matematik 5

Prefix

Ma1

Tera

T=1012T = 10^{12}
Ma1

Giga

G=109G = 10^9
Ma1

Mega

M=106M = 10^6
Ma1

Kilo

k=103k = 10^3
Ma1

Hekto

h=102h = 10^2
Ma1

Deci

d=10−1d = 10^{-1}
Ma1

Centi

c=10−2c = 10^{-2}
Ma1

Milli

m=10−3m = 10^{-3}
Ma1

Mikro

μ=10−6\mu = 10^{-6}
Ma1

Nano

n=10−9n = 10^{-9}
Ma1

Piko

p=10−12p = 10^{-12}

Potenser

Ma1

Multiplikation

ax⋅ay=ax+ya^x \cdot a^y = a^{x+y}
Ma1

Division

axay=ax−y\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}
Ma1

Potens av potens

(ax)y=axy(a^x)^y = a^{xy}
Ma1

Negativ exponent

a−x=1axa^{-x} = \frac{1}{a^x}
Ma1

Produkt

ax⋅bx=(ab)xa^x \cdot b^x = (ab)^x
Ma1

Kvot

axbx=(ab)x\frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x
Ma1

n-te roten

a1n=ana^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}
Ma1

Noll exponent

a0=1a^0 = 1

Funktioner

Ma1

Räta linjen

y=kx+my = kx + m
Ma1

Lutning

k=y2−y1x2−x1k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Ma1

Allmän form

ax+by+c=0ax + by + c = 0

där inte både a och b är noll

Ma1

Exponentialfunktion

y=Caxy = Ca^x

där a > 0 och a ≠ 1

Ma1

Potensfunktion

y=Cxay = Cx^a
Ma2

Andragradsfunktion

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c

a ≠ 0

Ma2

Vinkelräta linjer

k1⋅k2=−1k_1 \cdot k_2 = -1

Villkor för vinkelräta linjer

Geometri

Ma1

Triangel - Area

A=bh2A = \frac{bh}{2}
Ma1

Parallellogram - Area

A=bhA = bh
Ma1

Parallelltrapets - Area

A=h(a+b)2A = \frac{h(a + b)}{2}
Ma1

Cirkel - Area

A=πr2=πd24A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}
Ma1

Cirkel - Omkrets

O=2πr=πdO = 2\pi r = \pi d
Ma1

Cirkelsektor - Area

A=v360°⋅πr2=v2π⋅πr2=vr22A = \frac{v}{360°} \cdot \pi r^2 = \frac{v}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{vr^2}{2}

v i grader respektive radianer

Ma1

Cirkelsektor - Båglängd

bl=v360°⋅2πr=vrb_l = \frac{v}{360°} \cdot 2\pi r = vr

v i grader respektive radianer

Ma1

Prisma - Volym

V=BhV = Bh
Ma1

Cylinder - Volym

V=Bh=πr2hV = Bh = \pi r^2 h
Ma1

Cylinder - Mantelarea

Am=2πrhA_m = 2\pi rh
Ma1

Pyramid - Volym

V=Bh3V = \frac{Bh}{3}
Ma1

Kon - Volym

V=Bh3=πr2h3V = \frac{Bh}{3} = \frac{\pi r^2 h}{3}
Ma1

Kon - Mantelarea

Am=πrsA_m = \pi rs
Ma1

Klot - Volym

V=4πr33V = \frac{4\pi r^3}{3}
Ma1

Klot - Area

A=4πr2A = 4\pi r^2

Skala

Ma1

Areaskala

areaskala=(la¨ngdskala)2\text{areaskala} = (\text{längdskala})^2
Ma1

Volymskala

volymskala=(la¨ngdskala)3\text{volymskala} = (\text{längdskala})^3

Trigonometri

Ma1

Pythagoras sats

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2
Ma1

Sinus

sin⁡v=ac\sin v = \frac{a}{c}
Ma1

Cosinus

cos⁡v=bc\cos v = \frac{b}{c}
Ma1

Tangens

tan⁡v=ab\tan v = \frac{a}{b}
Ma3

Sinus i enhetscirkeln

sin⁡v=y\sin v = y
Ma3

Cosinus i enhetscirkeln

cos⁡v=x\cos v = x
Ma3

Tangens i enhetscirkeln

tan⁡v=yx\tan v = \frac{y}{x}
Ma3

Sinussatsen

sin⁡Aa=sin⁡Bb=sin⁡Cc\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}
Ma3

Cosinussatsen

a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A
Ma3

Areasatsen

T=absin⁡C2T = \frac{ab \sin C}{2}
Ma4

Additionsformel för sinus

sin⁡(u+v)=sin⁡ucos⁡v+cos⁡usin⁡v\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v
Ma4

Subtraktionsformel för sinus

sin⁡(u−v)=sin⁡ucos⁡v−cos⁡usin⁡v\sin(u - v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v
Ma4

Additionsformel för cosinus

cos⁡(u+v)=cos⁡ucos⁡v−sin⁡usin⁡v\cos(u + v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v
Ma4

Subtraktionsformel för cosinus

cos⁡(u−v)=cos⁡ucos⁡v+sin⁡usin⁡v\cos(u - v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v
Ma4

Dubbla vinkeln - sinus

sin⁡2v=2sin⁡vcos⁡v\sin 2v = 2\sin v \cos v
Ma4

Dubbla vinkeln - cosinus

cos⁡2v={cos⁡2v−sin⁡2v(1)2cos⁡2v−1(2)1−2sin⁡2v(3)\cos 2v = \begin{cases} \cos^2 v - \sin^2 v & \text{(1)} \\ 2\cos^2 v - 1 & \text{(2)} \\ 1 - 2\sin^2 v & \text{(3)} \end{cases}
Ma4

Trigonometrisk identitet

sin⁡2v+cos⁡2v=1\sin^2 v + \cos^2 v = 1
Ma4

Omskrivning

asin⁡x+bcos⁡x=csin⁡(x+v)a\sin x + b\cos x = c\sin(x + v)

där c = √(a² + b²) och tan v = b/a

Algebra

Ma2

Kvadrat av summa

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Ma2

Kvadrat av differens

(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Ma2

Konjugatregeln

(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
Ma2

pq-formeln

x=−p2±(p2)2−qx = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}
Ma2

abc-formeln

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Ma3

Kub av summa

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Ma3

Kub av differens

(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
Ma3

Summa av kuber

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Ma3

Differens av kuber

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Logaritmer

Ma2

Definition

y=10x⇔x=lg⁡yy = 10^x \Leftrightarrow x = \lg y
Ma2

Logaritm av produkt

lg⁡(xy)=lg⁡x+lg⁡y\lg(xy) = \lg x + \lg y
Ma2

Logaritm av kvot

lg⁡(xy)=lg⁡x−lg⁡y\lg\left(\frac{x}{y}\right) = \lg x - \lg y
Ma2

Logaritm av potens

lg⁡xp=p⋅lg⁡x\lg x^p = p \cdot \lg x
Ma3

Naturlig logaritm

y=ex⇔x=ln⁡yy = e^x \Leftrightarrow x = \ln y
Ma3

ln av produkt

ln⁡(xy)=ln⁡x+ln⁡y\ln(xy) = \ln x + \ln y
Ma3

ln av kvot

ln⁡(xy)=ln⁡x−ln⁡y\ln\left(\frac{x}{y}\right) = \ln x - \ln y
Ma3

ln av potens

ln⁡xp=p⋅ln⁡x\ln x^p = p \cdot \ln x

Likformighet

Ma2

Likformighet

ad=be=cf\frac{a}{d} = \frac{b}{e} = \frac{c}{f}
Ma2

Topptriangelsatsen

DEAB=CDAC=CEBC\frac{DE}{AB} = \frac{CD}{AC} = \frac{CE}{BC}
Ma2

Bisektrissatsen

ADBD=ACBC\frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC}
Ma2

Transversalsatsen

CDAD=CEBE\frac{CD}{AD} = \frac{CE}{BE}

Vinklar

Ma2

Sidovinklar

u+v=180°u + v = 180°
Ma2

Vertikalvinklar

w=vw = v
Ma2

Likbelägna vinklar

v=wv = w
Ma2

Alternatvinklar

u=wu = w
Ma2

Vinkelsumma n-hörning

S=(n−2)⋅180°S = (n - 2) \cdot 180°

Koordinatgeometri

Ma2

Yttervinkelsatsen

y=u+vy = u + v
Ma2

Kordasatsen

ab=cdab = cd
Ma2

Randvinkelsatsen

u=2vu = 2v
Ma2

Avståndsformeln

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
Ma2

Mittpunktsformeln

xm=x1+x22,ym=y1+y22x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}

Statistik och sannolikhet

Ma2

Lådagram

Minsta va¨rde−Q1−Median−Q3−Sto¨rsta va¨rde\text{Minsta värde} - Q_1 - \text{Median} - Q_3 - \text{Största värde}

Q₁ = Nedre kvartil, Q₃ = Övre kvartil

Ma2

Normalfördelning

μ±σ:68.2%,μ±2σ:95.4%\mu \pm \sigma: 68.2\%, \quad \mu \pm 2\sigma: 95.4\%
Ma4

Täthetsfunktion för normalfördelning

f(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}

Geometrisk summa

Ma3

Geometrisk summa

a+ak+ak2+...+akn−1=a(kn−1)k−1a + ak + ak^2 + ... + ak^{n-1} = \frac{a(k^n - 1)}{k - 1}

där k ≠ 1

Absolutbelopp

Ma3

Definition

∣a∣={aom a≥0−aom a<0|a| = \begin{cases} a & \text{om } a \geq 0 \\ -a & \text{om } a < 0 \end{cases}

Derivata

Ma3

Definition

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}
Ma3

Potensfunktion

ddx(xn)=nxn−1\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}
Ma3

1/x

ddx(1x)=−1x2\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}
Ma3

Exponentialfunktion

ddx(ax)=axln⁡a\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a
Ma3

e^x

ddx(ex)=ex\frac{d}{dx}(e^x) = e^x
Ma3

e^(kx)

ddx(ekx)=kekx\frac{d}{dx}(e^{kx}) = ke^{kx}
Ma3

Konstant · funktion

ddx(k⋅f(x))=k⋅f′(x)\frac{d}{dx}(k \cdot f(x)) = k \cdot f'(x)
Ma3

Summa

ddx(f(x)+g(x))=f′(x)+g′(x)\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)

Integralkalkyl

Ma3

Fundamentalsatsen

∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)
Ma3

Konstant

∫k dx=kx+C\int k \, dx = kx + C
Ma3

Potensfunktion

∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

n ≠ -1

Ma3

Exponentialfunktion

∫ax dx=axln⁡a+C\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C
Ma3

e^x

∫ex dx=ex+C\int e^x \, dx = e^x + C
Ma3

e^(kx)

∫ekx dx=ekxk+C\int e^{kx} \, dx = \frac{e^{kx}}{k} + C
Ma5

Integralkalkylens huvudsats

∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)

där F'(x) = f(x)

Trigonometriska funktionsvärden

Ma3

0° (0 rad)

sin⁡0°=0,cos⁡0°=1,tan⁡0°=0\sin 0° = 0, \quad \cos 0° = 1, \quad \tan 0° = 0
Ma3

30° (π/6 rad)

sin⁡30°=12,cos⁡30°=32,tan⁡30°=13\sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}
Ma3

45° (π/4 rad)

sin⁡45°=12,cos⁡45°=12,tan⁡45°=1\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \tan 45° = 1
Ma3

60° (π/3 rad)

sin⁡60°=32,cos⁡60°=12,tan⁡60°=3\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60° = \frac{1}{2}, \quad \tan 60° = \sqrt{3}
Ma3

90° (π/2 rad)

sin⁡90°=1,cos⁡90°=0,tan⁡90°=ej def.\sin 90° = 1, \quad \cos 90° = 0, \quad \tan 90° = \text{ej def.}
Ma3

120° (2π/3 rad)

sin⁡120°=32,cos⁡120°=−12,tan⁡120°=−3\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 120° = -\frac{1}{2}, \quad \tan 120° = -\sqrt{3}
Ma3

135° (3π/4 rad)

sin⁡135°=12,cos⁡135°=−12,tan⁡135°=−1\sin 135° = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \cos 135° = -\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \tan 135° = -1
Ma3

150° (5π/6 rad)

sin⁡150°=12,cos⁡150°=−32,tan⁡150°=−13\sin 150° = \frac{1}{2}, \quad \cos 150° = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan 150° = -\frac{1}{\sqrt{3}}
Ma3

180° (π rad)

sin⁡180°=0,cos⁡180°=−1,tan⁡180°=0\sin 180° = 0, \quad \cos 180° = -1, \quad \tan 180° = 0

Differential- och integralkalkyl

Ma4

Derivata av ln x

ddx(ln⁡x)=1x\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}

x > 0

Ma4

Derivata av sin x

ddx(sin⁡x)=cos⁡x\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x
Ma4

Derivata av cos x

ddx(cos⁡x)=−sin⁡x\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x
Ma4

Derivata av tan x

ddx(tan⁡x)=1+tan⁡2x=1cos⁡2x\frac{d}{dx}(\tan x) = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}
Ma4

Produktregeln

ddx(f(x)⋅g(x))=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
Ma4

Kvotregeln

ddx(f(x)g(x))=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)(g(x))2\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}

g(x) ≠ 0

Ma4

Kedjeregeln

y′=f′(g(x))⋅g′(x)y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

eller dy/dx = dy/dz · dz/dx

Ma4

Primitiv av 1/x

∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C

x ≠ 0

Ma4

Primitiv av sin x

∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x \, dx = -\cos x + C
Ma4

Primitiv av cos x

∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x \, dx = \sin x + C
Ma4

Rotationsvolym runt x-axeln

V=π∫aby2 dxV = \pi \int_a^b y^2 \, dx
Ma4

Rotationsvolym runt y-axeln

V=π∫abx2 dyV = \pi \int_a^b x^2 \, dy

Komplexa tal

Ma4

Rektangulär form

z=a+biz = a + bi
Ma4

Polär form

z=r(cos⁡v+isin⁡v)z = r(\cos v + i\sin v)
Ma4

Exponentiell form

z=reivz = re^{iv}
Ma4

Argument

arg⁡z=v\arg z = v

tan v = b/a

Ma4

Absolutbelopp

∣z∣=r=a2+b2|z| = r = \sqrt{a^2 + b^2}
Ma4

Konjugat

z‾=a−bi\overline{z} = a - bi
Ma4

Multiplikation

z1⋅z2=r1⋅r2(cos⁡(v1+v2)+isin⁡(v1+v2))z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2(\cos(v_1 + v_2) + i\sin(v_1 + v_2))
Ma4

Division

z1z2=r1r2(cos⁡(v1−v2)+isin⁡(v1−v2))\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(v_1 - v_2) + i\sin(v_1 - v_2))
Ma4

de Moivres formel

zn=(r(cos⁡v+isin⁡v))n=rn(cos⁡nv+isin⁡nv)z^n = (r(\cos v + i\sin v))^n = r^n(\cos nv + i\sin nv)
Ma5

Alternativ notation

z=x+iyz = x + iy

där i² = -1

Mängdlära

Ma5

Snitt

A∩B={x∣x∈A och x∈B}A \cap B = \{x | x \in A \text{ och } x \in B\}
Ma5

Union

A∪B={x∣x∈A eller x∈B}A \cup B = \{x | x \in A \text{ eller } x \in B\}
Ma5

Differens

A∖B={x∣x∈A och x∉B}A \setminus B = \{x | x \in A \text{ och } x \notin B\}
Ma5

Komplement

AC={x∣x∈G och x∉A}A^C = \{x | x \in G \text{ och } x \notin A\}

Kombinatorik

Ma5

Permutationer

P(n,k)=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅...⋅(n−k+1)=n!(n−k)!P(n,k) = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}

0 ≤ k ≤ n

Ma5

Kombinationer

C(n,k)=(nk)=P(n,k)k!=n!k!(n−k)!C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{P(n,k)}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

0 ≤ k ≤ n

Ma5

Binomialsatsen

(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

Talteori

Ma5

Kongruens

a≡b(modc)a \equiv b \pmod{c}

om differensen a - b är delbar med c

Ma5

Kongruens - Addition

a1+a2≡b1+b2(modc)a_1 + a_2 \equiv b_1 + b_2 \pmod{c}

om a₁ ≡ b₁ (mod c) och a₂ ≡ b₂ (mod c)

Ma5

Kongruens - Multiplikation

a1⋅a2≡b1⋅b2(modc)a_1 \cdot a_2 \equiv b_1 \cdot b_2 \pmod{c}

om a₁ ≡ b₁ (mod c) och a₂ ≡ b₂ (mod c)

Ma5

Kongruens - Skalning

m⋅a≡m⋅b(modc)m \cdot a \equiv m \cdot b \pmod{c}

för alla heltal m, om a ≡ b (mod c)

Ma5

Kongruens - Potens

an≡bn(modc)a^n \equiv b^n \pmod{c}

för alla heltal n ≥ 0, om a ≡ b (mod c)

Aritmetisk och geometrisk summa

Ma5

Aritmetisk summa

sn=n⋅a1+an2s_n = n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2}

där aₙ = a₁ + (n-1)·d

Ma5

Geometrisk summa

sn=a1kn−1k−1s_n = a_1 \frac{k^n - 1}{k - 1}

där aₙ = a₁·k^(n-1) och k ≠ 1

Differentialekvationer

Ma5

Homogen 1:a ordningen

y′+ay=0y' + ay = 0

Lösning: y = Ce^(-ax)

Ma5

Homogen 2:a ordningen

y′′+ay′+by=0y'' + ay' + by = 0

Karakteristisk ekvation: r² + ar + b = 0

Ma5

Homogen 2:a ord. - Lika rötter

y=(C1x+C2)er1xy = (C_1x + C_2)e^{r_1x}

Om r₁ = r₂ (reella tal)

Ma5

Homogen 2:a ord. - Olika rötter

y=C1er1x+C2er2xy = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}

Om r₁ ≠ r₂ (reella tal)

Ma5

Homogen 2:a ord. - Komplexa rötter

y=eαx(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx)y = e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x + C_2\sin \beta x)

Om r₁ = α + iβ och r₂ = α - iβ

Ma5

Inhomogen ekvation

y=yh+ypy = y_h + y_p

yₕ = allmän lösning till homogena, yₚ = partikulärlösning

Interaktiva formelblad för gymnasiematematik

Baserat på Skolverkets formelblad

www.formelblad.se